?

Log in

No account? Create an account

Previous Entry | Next Entry

Часто, при обсуждении скорости и пропускной способности дорог ссылаются на подобный график зависимости пропускной способности автодорог от скорости:



Кривая сообщает, что максимальная пропускная способность достигается при скорости движения около 60 км/ч.
Хотелось бы математическими рассуждениями проверить, а так ли это?


Перво-наперво необходимо знать следующие величины:
а) длину автомобиля la;
б) дистанцию между автомобилями lд.

В сумме эти два понятия они составляют «габаритную длину» x.

Про безопасную дистанцию известно следующее:

При движении по сухому асфальту — Д (м) = 0.5 на скорость движения (км/ч); например при скорости движения 60 км/ч Д = 30 м.


Зависимость габаритной длины (м) от скорости будет такая:
x = la + V * 0.5 / 1000.

Значит, интервал между следующими друг за другом автомобилями равен (ч):
t = x / (1000 * V)

И пропускная способность:
N = 1 / t


В итоге, пропускная способность характеризуется следующей кривой:



Пропускная способность растет с увеличением скорости!



Как бы ни так!

Коварство крылось в определении габаритной длины автомобиля. Если с непосредственной длиной автомобиля вопросов нет, то дистанция рассчитана излишне поверхностно.
Габаритную длину можно представить как совокупность трех составляющих: la — длину автомобиля, lр — расстояние, проходимое с той же скоростью за время реакции водителя, lт — дистанция торможения:



Расстояние, пройденное автомобилем за время реакции водителя будет равным (м):
lр = (1000 / 3600) * tр,
где tр — время реакции, обычно 0.5—1 секунда.

Дистанция торможения lт вычисляется исходя из энергии, накопленной автомобилем в начале движения и полностью погашаемой к моменту остановки:


где M — масса автомобиля,
Q — вес автомобиля при условии полностью заторможенных колес,
μ — коэффициент трения скольжения колес по дороге (для сухого полотна — 0,5—0,7, для обледеневшей — 0,1).

Т.к. M = Q / g, где g — ускорение свободного падения, происходят нехитрые преобразования:



Именно эти данные вставляются в исходную формулу пропускной способности автодороги, после чего имеем следующий график зависимости:



Как видите, в идеальных условиях максимум пропускной способности находится в районе 25 км/ч.

Примерно такую картину с учетом поправки на диффузию автомобилей мы и видим в пробках — поток самоуплотняется до максимального значения, после чего движется с максимально возможной скоростью.

Вы можете самостоятельно «поиграть» с графиком кривой в зависимости от длины автомобиля, качества сцепления с дорогой и прочих параметров, скачав файл с расчетами.

Comments

anderson_mike
Apr. 7th, 2014 10:59 am (UTC)
Это все здорово, но сдается мне, что все эти формулы не очень отражают реальность, и реальная кривая может быть получена только экспериментально.